Integral de \( \sin^2(x) \cos^2(x) \)

Derivación y evaluación

Evalúa la integral:

\[ \int \sin^2(x) \cos^2(x) \, dx \]

Utiliza las identidades trigonométricas \( \sin^2 x = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \) y \( \cos^2 x = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(2x)) \) para reescribir la integral:

\[ \int \sin^2(x) \cos^2(x) \, dx = \dfrac{1}{4} \int (1 - \cos(2x))(1 + \cos(2x)) \, dx \]

Desarrolla el integrando de la integral del lado derecho utilizando la diferencia de cuadrados:

\[ = \dfrac{1}{4} \int (1 - \cos^2(2x)) \, dx \]

Utiliza la identidad trigonométrica \( \cos^2 \theta = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(2\theta)) \), que para \( \theta = 2x \) da \( \cos^2(2x) = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(4x)) \):

\[ = \dfrac{1}{4} \int \left( 1 - \dfrac{1}{2}(1 + \cos(4x)) \right) dx \]

Simplifica el integrando dentro de los paréntesis:

\[ = \dfrac{1}{4} \int \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\cos(4x) \right) dx = \dfrac{1}{8} \int (1 - \cos(4x)) \, dx \]

Utiliza las integrales estándar \( \int 1 \, dx = x \) y \( \int \cos(kx) \, dx = \dfrac{1}{k}\sin(kx) \) para evaluar la integral:

\[ = \dfrac{1}{8} \left( x - \dfrac{1}{4} \sin(4x) \right) + c \]

donde \( c \) es la constante de integración.

El resultado final está dado por: